Hver uke fyller nordmenn ut lottorekker, men få tenker over at en lottokupong også er en ganske god matteoppgave. Bak tallet 5 379 616, som er antall mulige rekker i Lotto, ligger noen av de mest sentrale begrepene i sannsynlighetsregning: multiplikasjonsprinsippet, fakultet og binomialkoeffisienten.
I denne artikkelen går vi gjennom utregningen steg for steg, med Lotto, Vikinglotto og Eurojackpot som eksempler. Du trenger ingen forkunnskaper utover vanlig gange og dele.
Hvorfor Lotto er en god matteoppgave
Lotto har alt en god oppgave i kombinatorikk trenger: et fast antall tall å velge mellom, et fast antall tall som trekkes, og en tydelig regel om at rekkefølgen ikke betyr noe.
I norsk Lotto velger du sju tall blant tallene 1 til 34. Spørsmålet vi skal svare på er enkelt å formulere: hvor mange forskjellige rekker er det mulig å lage?
Når vi har svaret, kan vi regne ut sannsynligheten for sju rette. Vi kan også regne ut sannsynligheten for å treffe færre tall, og sammenligne Lotto med andre lotterier.
Steg 1: Når rekkefølgen teller
Vi begynner med en forenklet tanke: Tenk deg at du trekker tallene ett og ett, og at rekkefølgen faktisk betyr noe.
- Det første tallet kan være ett av 34.
- Det andre kan være ett av de 33 som er igjen.
- Det tredje kan være ett av 32, og så videre.
Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: Når du gjør flere valg etter hverandre, ganger du antall muligheter for hvert valg.
For sju tall blir det:
34 · 33 · 32 · 31 · 30 · 29 · 28 = 27 113 264 640
Det er over 27 milliarder ordnede rekker. Men i Lotto spiller det ingen rolle om tallet 5 trekkes først eller sist. Derfor har vi telt den samme rekken mange ganger.
Steg 2: Fjern rekkefølgen med fakultet
Hvor mange ganger har vi telt hver rekke? Det tilsvarer hvor mange måter sju tall kan stilles opp på.
Her kommer fakultet inn. Fakultet skrives med utropstegn og betyr at du ganger et tall med alle hele tall under seg ned til 1:
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040
Sju tall kan altså stilles opp på 5 040 forskjellige måter. Deler vi antall ordnede rekker på dette, fjerner vi dobbelttellingen:
27 113 264 640 / 5 040 = 5 379 616
Det er nøyaktig antallet mulige lottorekker. Et valg der rekkefølgen ikke betyr noe, kalles en kombinasjon, og Store norske leksikon bruker faktisk akkurat Lotto som eksempel når begrepet forklares.
Binomialkoeffisienten: snarveien
Utregningen over kan skrives som én formel, binomialkoeffisienten. Den uttales gjerne «n over k» og gir antall måter å velge k elementer blant n uten hensyn til rekkefølge:
n over k = n! / (k! · (n − k)!)
For Lotto er n = 34 og k = 7. Formelen gir 5 379 616, samme svar som over.
De fleste kalkulatorer har en egen knapp for dette, ofte merket nCr. På en vanlig kalkulator skriver du 34, trykker nCr og så 7. I et regneark kan du bruke funksjonen KOMBINASJON(34;7).
Steg 3: Sannsynligheten for færre rette
Når alle rekker er like sannsynlige, er sannsynligheten for sju rette ganske enkelt 1 delt på antall mulige rekker:
P(7 rette) = 1 / 5 379 616
Det er mer interessant å regne ut sjansen for for eksempel fem rette. Da må vi telle to ting samtidig:
- På hvor mange måter kan fem av dine sju tall være blant de sju vinnertallene? Det er 7 over 5 = 21.
- På hvor mange måter kan de to andre tallene dine være blant de 27 tallene som ikke ble trukket? Det er 27 over 2 = 351.
Ganger vi disse, får vi 21 · 351 = 7 371 gunstige rekker. Sannsynligheten blir 7 371 / 5 379 616, som er omtrent 1 til 730.
Denne typen utregning kalles den hypergeometriske fordelingen. Den brukes når du trekker fra en begrenset mengde uten å legge tilbake.
| Antall av de 7 vinnertallene | Gunstige rekker | Sannsynlighet per rekke |
|---|---|---|
| 7 | 1 | 1 : 5 379 616 |
| 6 | 189 | ca. 1 : 28 464 |
| 5 | 7 371 | ca. 1 : 730 |
| 4 | 102 375 | ca. 1 : 53 |
| 3 | 614 250 | ca. 1 : 9 |
Tabellen viser ren matematikk og tar ikke hensyn til tilleggstall. Premiegruppene hos Norsk Tipping bruker også tilleggstallene, så vil du se de faktiske vinnersjansene per premie, kan du lese mer om sannsynligheten for å vinne i Lotto.
Sammenligning: Lotto, Vikinglotto og Eurojackpot
Med samme metode kan vi regne ut antall kombinasjoner i de andre store lotteriene. Forskjellen er at Vikinglotto og Eurojackpot har en ekstra trekning fra en egen tallrekke.
| Spill | Slik velger du | Utregning | Mulige kombinasjoner |
|---|---|---|---|
| Lotto | 7 av 34 | 34 over 7 | 5 379 616 |
| Vikinglotto | 6 av 48 + 1 vikingtall av 5 | (48 over 6) · 5 | 61 357 560 |
| Eurojackpot | 5 av 50 + 2 eurotall av 12 | (50 over 5) · (12 over 2) | 139 838 160 |
Sjansen for førstepremie i Vikinglotto er dermed omtrent 11 ganger mindre enn i Lotto, og i Eurojackpot omtrent 26 ganger mindre.
Hvorfor ganger vi med den ekstra trekningen?
De to trekningene skjer uavhengig av hverandre. For hver av de 12 271 512 måtene å velge seks hovedtall i Vikinglotto på, finnes det fem mulige vikingtall. Derfor ganger vi, akkurat som i multiplikasjonsprinsippet.
I Eurojackpot velger du to eurotall blant tolv, og det kan gjøres på 12 over 2 = 66 måter. Hovedtallene gir 2 118 760 muligheter, og 2 118 760 · 66 = 139 838 160.
Vanlige tankefeller om tall og sannsynlighet
Matematikken viser også hvorfor mange populære «strategier» ikke fungerer.
Spillerens feilslutning. Mange tror at et tall som ikke er trukket på lenge, «snart må komme». Men kulene har ingen hukommelse. Hver trekning er uavhengig, og alle tall har samme sjanse hver gang.
«1-2-3-4-5-6-7 kommer aldri». Rekken ser lite tilfeldig ut, men den er nøyaktig like sannsynlig som enhver annen rekke: 1 av 5 379 616. Det eneste som skiller den ut, er at mange andre også kan ha valgt den, så en eventuell premie må deles på flere.
Mønstre i gamle trekninger. Med mange trekninger vil det alltid dukke opp tall som tilfeldigvis er trukket oftere enn andre. Det er et kjent fenomen i statistikk og betyr ikke at de er mer sannsynlige framover.
Forventningsverdi: hva er en lottorekke verdt?
Et annet nyttig begrep er forventningsverdi. Det er det du i gjennomsnitt kan regne med å få tilbake per krone over svært mange spill.
I Lotto går omtrent halvparten av omsetningen tilbake som premier. Forventningsverdien er derfor rundt 50 øre per krone du satser. Resten går til drift og til gode formål.
Det betyr ikke at du taper nøyaktig halvparten hver gang. Noen vinner mye, de fleste vinner lite eller ingenting. Men over tid nærmer gjennomsnittet seg denne verdien. Derfor er det fornuftig å se på Lotto som underholdning med en fast kostnad, ikke som en investering.
Når matematikken butter
Kombinatorikk og sannsynlighet er en del av pensum på ungdomsskolen og i videregående, men temaet bygger på ferdigheter fra tidligere år: brøk, gange og forståelse av hva et forhold betyr. Står du fast på binomialkoeffisienten, ligger problemet ofte i noe mer grunnleggende, for eksempel brøkregning eller hva det vil si å dele.
Da kan det lønne seg å gå et steg tilbake. Nettsider med mattehjelp går gjennom vanlige feil og hull i grunnlaget og viser hvordan man kan øve hjemme. Når det grunnleggende sitter, blir utregninger som 34 over 7 mye lettere å følge.
Prøv selv: tre små oppgaver
Her er noen oppgaver du kan bruke for å teste forståelsen. Svarene står under.
- Hvor mange måter kan du velge 3 tall blant 10 på, når rekkefølgen ikke betyr noe?
- Et tenkt lotteri trekker 2 tall blant 6. Hva er sannsynligheten for å treffe begge med én rekke?
- Hvor mange ganger større er antall kombinasjoner i Vikinglotto enn i Lotto, avrundet til nærmeste hele tall?
Svar:
- 10 over 3 = 120.
- 6 over 2 = 15 mulige rekker, så sannsynligheten er 1/15.
- 61 357 560 / 5 379 616 ≈ 11.
Lotto er altså mer enn et spill: det er et konkret og lett tilgjengelig eksempel på hvordan sannsynlighet fungerer i praksis. Spiller du selv, gjør du det best med en fast grense for hvor mye du bruker, og med vissheten om at hvert tall har nøyaktig like stor sjanse hver uke.
