Hvor mange ulike lottorekker finnes det egentlig? Svaret er over fem millioner, og det kan regnes ut med et par enkle formler fra kombinatorikk. Lotto er faktisk et av de mest brukte eksemplene når elever skal lære hvordan man teller mulige utvalg.
I denne artikkelen går vi gjennom matematikken bak lottotallene steg for steg. Målet er å forklare regnemetodene, ikke å oppfordre til spill.
Hva er kombinatorikk?
Kombinatorikk er den delen av matematikken som handler om å telle. Nærmere bestemt handler det om å finne ut hvor mange måter noe kan settes sammen eller velges ut på.
Noen typiske spørsmål kombinatorikk kan svare på:
- Hvor mange ulike koder kan lages med fire siffer?
- På hvor mange måter kan fem personer stille seg i kø?
- Hvor mange ulike lottorekker kan man fylle ut?
Når vi vet hvor mange mulige utfall som finnes, kan vi også regne ut sannsynligheter. Derfor henger kombinatorikk og sannsynlighet tett sammen.
Ordnet og uordnet utvalg
Det første man må avklare, er om rekkefølgen betyr noe. Dette er det viktigste skillet i kombinatorikk.
| Type utvalg | Betyr rekkefølgen noe? | Eksempel | Hvordan man regner |
| Ordnet utvalg uten tilbakelegging | Ja | Gull, sølv og bronse blant 10 løpere | 10 · 9 · 8 = 720 |
| Ordnet utvalg med tilbakelegging | Ja | Firesifret PIN-kode | 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 |
| Uordnet utvalg uten tilbakelegging | Nei | 7 lottotall blant 34 | 34 over 7 = 5 379 616 |
Tilbakelegging betyr at det samme elementet kan velges flere ganger. I en PIN-kode kan sifferet 3 brukes to ganger. I Lotto kan hver kule bare trekkes én gang, siden den ikke legges tilbake i maskinen.
Uordnet betyr at rekkefølgen ikke spiller noen rolle. Rekken 3–12–17–21–25–30–33 er nøyaktig den samme som 33–30–25–21–17–12–3.
Steg for steg: hvorfor det finnes 5 379 616 lottorekker
I Lotto trekkes 7 vinnertall blant tallene 1 til 34. Vi kan regne ut antall mulige rekker i tre steg.
Steg 1: Tell som om rekkefølgen betyr noe.
Det første tallet kan velges på 34 måter, det neste på 33 måter, og så videre. For sju tall blir det:
34 · 33 · 32 · 31 · 30 · 29 · 28 = 27 113 264 640
Steg 2: Finn ut hvor mange ganger hver rekke er talt.
De samme sju tallene kan stilles opp i ulike rekkefølger. Antallet er 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040. Dette skrives 7! og uttales «sju fakultet».
Steg 3: Del på antall rekkefølger.
27 113 264 640 ÷ 5 040 = 5 379 616
Det finnes altså 5 379 616 ulike lottorekker. Med én rekke er sjansen for sju rette derfor 1 til 5 379 616.
Binomialkoeffisienten: en snarvei
Utregningen over har et eget navn og symbol. Den kalles binomialkoeffisient og leses «34 over 7». Den generelle formelen er:
n over k = n! ÷ (k! · (n − k)!)
Her er n antall elementer å velge blant, og k er hvor mange som velges. De fleste lommeregnere har en egen knapp for dette, ofte merket nCr. I regneark kan du bruke funksjonen KOMBINASJON (på engelsk COMBIN).
Samme metode på tre ulike spill
Kombinatorikken fungerer på samme måte for andre lotterier. Forskjellen er hvor mange tall som trekkes, og om det finnes et ekstra tall som trekkes fra en egen gruppe.
| Spill | Hva som trekkes | Regnestykke | Antall mulige rekker |
| Lotto | 7 av 34 | 34 over 7 | 5 379 616 |
| Vikinglotto | 6 av 48 + 1 vikingtall av 5 | (48 over 6) · 5 | 61 357 560 |
| Eurojackpot | 5 av 50 + 2 eurotall av 12 | (50 over 5) · (12 over 2) | 139 838 160 |
Når et spill har to separate trekninger, som hovedtall og vikingtall, multipliserer man antall muligheter fra hver del. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet. For Vikinglotto blir det 12 271 512 måter å velge hovedtallene på, ganger 5 mulige vikingtall.
Hypergeometrisk fordeling: sjansen for færre enn sju rette
Hvor stor er sjansen for akkurat seks rette? Her trenger vi en ny tankegang. Rekken din består av to typer tall: noen som er blant vinnertallene, og noen som ikke er det.
Av de 34 tallene er 7 vinnertall og 27 ikke-vinnertall. For å få akkurat seks rette må du treffe 6 av de 7 vinnertallene og 1 av de 27 andre.
- Måter å velge 6 av 7 vinnertall på: 7 over 6 = 7
- Måter å velge 1 av 27 andre tall på: 27 over 1 = 27
- Gunstige rekker totalt: 7 · 27 = 189
Når man regner ut sannsynligheter slik, med trekning uten tilbakelegging fra to grupper, bruker man det som kalles en hypergeometrisk fordeling.
I Lotto trekkes det også ett tilleggstall blant de 27 tallene som ikke er vinnertall. Det deler seks rette i to premiegrupper:
| Resultat | Regnestykke | Gunstige rekker | Sannsynlighet per rekke |
| 7 rette | 7 over 7 | 1 | 1 : 5 379 616 |
| 6 rette + tilleggstall | (7 over 6) · 1 | 7 | ca. 1 : 768 516 |
| 6 rette uten tilleggstall | (7 over 6) · 26 | 182 | ca. 1 : 29 558 |
| 5 rette | (7 over 5) · (27 over 2) | 7 371 | ca. 1 : 730 |
| 4 rette | (7 over 4) · (27 over 3) | 102 375 | ca. 1 : 53 |
Sannsynligheten finner du ved å dele antall gunstige rekker på 5 379 616.
Hvorfor lottotallene ikke «husker» noe
En vanlig misforståelse er at tall som ikke har kommet på lenge, snart «må» komme. Matematisk er det feil. Hver trekning er en uavhengig hendelse, og alle de 5 379 616 rekkene er like sannsynlige hver uke.
Det betyr også at en rekke som 1–2–3–4–5–6–7 har nøyaktig samme sjanse som en rekke som ser tilfeldig ut. Grunnen til at den føles mindre sannsynlig, er at hjernen vår leter etter mønstre. Dette er temaet i artikkelen om psykologien bak hvordan vi velger lottotall.
| Påstand | Stemmer det? | Forklaring |
| «Tall som ikke har kommet på lenge, er mer sannsynlige nå.» | Nei | Hver trekning er uavhengig av de forrige |
| «1–2–3–4–5–6–7 kommer aldri.» | Nei | Den har samme sannsynlighet som alle andre rekker |
| «To rekker gir dobbel sjanse.» | Ja | Med to ulike rekker dekker du 2 av 5 379 616 kombinasjoner |
| «Mange rekker gjør gevinst sannsynlig.» | Nei | Selv 1 000 rekker dekker under 0,02 prosent av alle kombinasjonene |
Kombinatorikk i skolen
Kombinatorikk og sannsynlighet er en fast del av matematikkfaget i videregående skole. Blant kompetansemålene i matematikk S1 står det at eleven skal kunne utforske kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg. Eleven skal også kunne tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger og gi eksempler på reelle anvendelser.
Lotto er nettopp et slikt eksempel. Mange lærebøker bruker lottotrekninger fordi tallene er konkrete og resultatene lette å sjekke.
For mange elever er det likevel vanskelig å skille mellom ordnet og uordnet utvalg, eller å vite når man skal gange og når man skal dele. Står man fast med oppgavene, kan nettleksehjelp være en måte å få forklart framgangsmåten på nytt i eget tempo. En enkel øvelse er å regne gjennom eksemplene i denne artikkelen for hånd og sjekke svarene med nCr-knappen på kalkulatoren.
